荊楚理工學(xué)院普通專升本考試《高等數(shù)學(xué)》考試大綱

荊楚理工學(xué)院普通專升本考試《高等數(shù)學(xué)》考試大綱

一、課程名稱：高等數(shù)學(xué)
二、適用專業(yè)：化學(xué)工程與工藝，機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化
三、考試方法：閉卷考試
四、考試時(shí)間：90分鐘
五、試卷結(jié)構(gòu)：總分：100分，其中選擇題20分，填空題20分，計(jì)算題50分，證明題10分。
六、參考書(shū)目：
1、同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編，《高等數(shù)學(xué)》（上、下冊(cè)），高等教育出版社，2007年第6版。
2、李樂(lè)成等主編，《高等數(shù)學(xué)》（上、下冊(cè)），華中科技大學(xué)出版社，2004年第2版。
七、考試的基本要求：
考生應(yīng)理解“高等數(shù)學(xué)”中的函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學(xué)、無(wú)窮級(jí)數(shù)和常微分方程的基本概念與基本理論；
學(xué)會(huì)、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；
應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力；
有運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明和準(zhǔn)確地計(jì)算的能力；
能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。
八、考試范圍
第一章 函數(shù)與極限
（一）考核內(nèi)容
映射與函數(shù)，數(shù)列的極限，函數(shù)的極限，無(wú)窮小與無(wú)窮大，極限運(yùn)算法則，極限存在準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限，無(wú)窮小的比較，函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)，連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
（二）考核知識(shí)點(diǎn)
1、函數(shù)的概念及性質(zhì)。
2、求函數(shù)的極限。
（三）考核要求
1、了解：間斷點(diǎn)的概念，會(huì)判別間斷點(diǎn)的類(lèi)型；
初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（介值定理和最大值最小值定理）。
2、理解：函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的概念；
函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性；
極限的概念；
無(wú)窮小、無(wú)窮大以及無(wú)窮小比較階的概念；
等價(jià)無(wú)窮小求極限；
函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念。
3、掌握：基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形；
極限四則運(yùn)算法則；
兩個(gè)重要極限公式。
第二章 導(dǎo)數(shù)與微分
（一）考核內(nèi)容
導(dǎo)數(shù)概念，函數(shù)的求導(dǎo)法則，高階導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的微分。
（二）考核知識(shí)點(diǎn)
1、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
2、函數(shù)的微分。
（三）考核要求
1、了解：微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式不變性；
高階導(dǎo)數(shù)的概念；
幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式。
2、理解：導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。
3、掌握：導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法；
基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法；
隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。
第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
（一）考核內(nèi)容
微分中值定理，洛必達(dá)法則，泰勒公式，函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性，函數(shù)的極值與最大值最小值。
（二）考核知識(shí)點(diǎn)
1、羅爾（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理。
2、洛必達(dá)法則。
3、函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性。
4、函數(shù)的極值與最大值最小值
（三）考核要求：
1、了解：柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。
2、理解：羅爾（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，函數(shù)的極值概念。
3、掌握：用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法；
用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性；
求拐點(diǎn)；
會(huì)描繪函數(shù)的圖形（包括水平和鉛直漸近線）；
求解較簡(jiǎn)單的最大值和最小值的應(yīng)用問(wèn)題；
用洛必達(dá)（L’Hospital）法則求不定式的極限。
第四章 不定積分
（一）考核內(nèi)容
不定積分的概念與性質(zhì)，換元積分法，分部積分法，有理函數(shù)的積分。
（二）考核知識(shí)點(diǎn)
1、不定積分的基本公式。
2、不定積分的換元法和分部積分法。
3、簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分的求法。
（三）考核要求
1、理解：不定積分的概念及性質(zhì)。
2、掌握：不定積分的基本公式，不定積分的換元法和分部積分法；
會(huì)求簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分。
第五章 定積分
（一）考核內(nèi)容
定積分的概念與性質(zhì)，微積分基本公式，定積分的換元法和分部積分法，反常積分。
（二）考核知識(shí)點(diǎn)
1、微積分基本公式。
2、定積分的換元法和分部積分法。
（三）考核要求
1、理解：定積分的概念及性質(zhì)；
變上限的定積分定義的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，反常積分的概念。
2、掌握：牛頓（Newton）一萊布尼茲（Leibniz）公式；
定積分的換元法和分部積分法。
第六章 定積分的應(yīng)用
（一）考核內(nèi)容
定積分的元素法，定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用。
（二）考核知識(shí)點(diǎn)
1、利用定積分來(lái)求一些幾何量（如面積、體積、弧長(zhǎng)）。
（三）考核要求
1、理解：定積分的元素法。
2、掌握：用定積分來(lái)求一些幾何量（如面積、體積、弧長(zhǎng)）的方法。
第七章 微分方程
（一）考核內(nèi)容
微分方程的基本概念，可分離變量的微分方程，齊次方程，一階線性微分方程，可降階的高階微分方程，高階線性微分方程，常系數(shù)齊次線性微分方程，常系數(shù)非齊次線性微分方程。
（二）考核知識(shí)點(diǎn)
1、可分離變量的微分方程，齊次方程。
2、一階線性微分方程，可降階的高階微分方程。
3、常系數(shù)齊次線性微分方程，常系數(shù)非齊次線性微分方程。
（三）考核要求
1、理解：微分方程、解、通解、初始條件和特解等概念，二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。
2、掌握：變量可分離的方程及一階線性方程的解法；
解齊次方程；
用降階法解下列方程；
二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；
二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法。
第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)
（一）考核內(nèi)容
向量及其線性運(yùn)算，數(shù)量積，向量積，曲面及其方程，空間曲線及其方程，平面及其方程，空間直線及其方程。
（二）考核知識(shí)點(diǎn)
1、向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積）。
2、空間曲線及其方程。
3、平面的方程和直線的方程及其求法。
（三）考核要求
1、了解：兩個(gè)向量垂直、平行的條件，常用二次曲面的方程及其圖形，以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；
空間曲線的參數(shù)方程和一般方程；
曲面的交線在坐標(biāo)平面上的投影。
2、理解：空間直角坐標(biāo)系，向量的概念及其表示，曲面及其方程的概念。
3、掌握：向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積）；
單位向量，方向余弦，向量的坐標(biāo)表達(dá)式以及用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法；
平面的方程和直線的方程及其求法，會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題。
第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用
（一）考核內(nèi)容
多元函數(shù)的基本概念，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)公式。
（二）考核知識(shí)點(diǎn)
1、偏導(dǎo)數(shù)，全微分。
2、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。
3、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
（三）考核要求
1、了解：二元函數(shù)的極限、連續(xù)性等概念，以及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；
二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在性、可微性與連續(xù)性之間的關(guān)系。
2、理解：多元函數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)和全微分等概念。
3、掌握：偏導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)一階和二階偏導(dǎo)數(shù)的求法；
隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)。
第十章 重積分
（一）考核內(nèi)容
二重積分的概念與性質(zhì)，二重積分的計(jì)算法。
（二）考核知識(shí)點(diǎn)
1、二重積分的計(jì)算。
（三）考核要求
1、理解：二重積分的概念及性質(zhì)。
2、掌握：二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)）。
第十一章 曲線積分
（一）考核內(nèi)容
對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，格林公式及其應(yīng)用。
（二）考核知識(shí)點(diǎn)
1、兩類(lèi)曲線積分的計(jì)算。
2、格林（Green）公式。
（三）考核要求
1、理解：兩類(lèi)曲線積分的概念，兩類(lèi)曲線積分的性質(zhì)及兩類(lèi)曲線積分的關(guān)系。
2、掌握：兩類(lèi)曲線積分的計(jì)算；
格林（Green）公式，運(yùn)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。
第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
（一）考核內(nèi)容
常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法，冪級(jí)數(shù)，函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。
（二）考核知識(shí)點(diǎn)
1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法。
2、冪級(jí)數(shù)。
3、將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。
（三）考核要求
1、理解：無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件；
正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理；
無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念及關(guān)系；
函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念，冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。
2、掌握：幾何級(jí)數(shù)和P-級(jí)數(shù)的收斂性；
正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法；
簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的收斂域的求法；
利用麥克勞林(Maclaurin)展開(kāi)式將一些簡(jiǎn)單的函數(shù)間接展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。