2015年湖北考研高等數(shù)學(xué)知識點(diǎn)講解：集合的概念
湖北2015年考研高等數(shù)學(xué)知識點(diǎn)講解：集合的概念
集合的概念
一般地我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合(簡稱集)。集合具有確定性(給定集合的元素必須是確定的)和互異性(給定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因?yàn)樗脑夭皇谴_定的。
我們通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就說a屬于A，記作：a∈A，否則就說a不屬于A，記作：aA。
⑴、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)。記作N
⑵、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N+或N+。
⑶、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z。
⑷、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Q。
?、?、全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集。記作R。
集合的表示方法
⑴、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“{｝”括起來表示集合
⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。
集合間的基本關(guān)系
⑴、子集：一般地，對于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說A、B有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作A B(或B A)。。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時(shí)集合A中的元素與集合B中的元素完全一樣，因此集合A與集合B相等，記作A=B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個(gè)元素屬于B但不屬于A，我們稱集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作 ，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。
?、?、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：
①、任何一個(gè)集合是它本身的子集。即A A
②、對于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。
③、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本運(yùn)算
⑴、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與B的并集。記作A∪B。(在求并集時(shí)，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。)
即A∪B={x|x∈A，或x∈B｝。
⑵、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集。記作A∩B。
即A∩B={x|x∈A，且x∈B｝。
⑶、補(bǔ)集：
①全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集。通常記作U。
②補(bǔ)集：對于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集。簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作CUA。
即CUA={x|x∈U，且x A｝。
集合中元素的個(gè)數(shù)
⑴、有限集：我們把含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集。
⑵、用card來表示有限集中元素的個(gè)數(shù)。例如A={a,b,c｝，則card(A)=3。
⑶、一般地，對任意兩個(gè)集合A、B，有
card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)
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