2015年湖北考研數(shù)學(xué)定理定義公式大全:中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
湖北2015年考研數(shù)學(xué)定理定義公式大全:中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b),那么在 開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點ξ(a<ξ <b)
2、定理(拉格朗 日中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點ξ(a<ξ <b)
3、定理(柯西中值定 理)如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且F’(x)在(a,b)內(nèi)的每一點處均不為零,那么在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)至少有一點ξ,使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。
4、洛必達(dá)法則應(yīng)用條 件只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。
5、函數(shù)單調(diào)性的判定法設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間 [a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么:(1)如果在(a,b)內(nèi)f’(x)>0,那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)增加;(2)如 果在(a,b)內(nèi)f’(x)<0,那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)減少。
如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),除去有限個導(dǎo)數(shù)不存在的點外 導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù),那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間,就能保證f’(x)在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定符 號,因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上單調(diào)。
6、函數(shù)的極值如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0是(a,b)內(nèi)的一個點,如果 存在著點x0的一個去心鄰域,對于這去心鄰域內(nèi)的任何點x,f(x)f(x0)均成立,就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值。
在函數(shù) 取得極值處,曲線上的切線是水平的,但曲線上有水平曲線的地方,函數(shù)不一定取得極值,即可導(dǎo)函數(shù)的極值點必定是它的駐點(導(dǎo)數(shù)為0的點),但函數(shù)的駐點卻 不一定是極值點。
定理(函數(shù)取得極值的必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),且在x0處取得極值,那么函數(shù)在x0的導(dǎo)數(shù)為零,即f’ (x0)=0.定理(函數(shù)取得極值的第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0一個鄰域內(nèi)可導(dǎo),且f’(x0)=0,那么:(1)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值 時,f’(x)恒為正;當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時,f’(x)恒為負(fù),那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時,f’ (x)恒為負(fù);當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時,f’(x)恒為正,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;(3)如果當(dāng)x取x0左右兩側(cè)臨近的值時,f’(x) 恒為正或恒為負(fù),那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值。
定理(函數(shù)取得極值的第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f’ (x0)=0,f’’(x0)≠0那么:(1)當(dāng)f’’(x0)<0時,函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2)當(dāng)f’’(x0)>0時,函 數(shù)f(x)在x0處取得極小值;駐點有可能是極值點,不是駐點也有可能是極值點。
7、函數(shù)的凹凸性及其判定設(shè)f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù),如 果對任意兩點x1,x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2,那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凹的;如果恒有 f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2,那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。
定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間 [a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù),那么(1)若在(a,b)內(nèi)f’’(x)>0,則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖形 是凹的;(2)若在(a,b)內(nèi)f’’(x)<0,則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖形是凸的。
判斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟 (1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0,解出這方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)的實根;(3)對于(2)中解出的每一個實根x0,檢查f’’(x)在 x0左右兩側(cè)鄰近的符號,如果f’’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近分別保持一定的符號,那么當(dāng)兩側(cè)的符號相反時,點(x0,f(x0))是拐點,當(dāng)兩側(cè)的符號 相同時,點(x0,f(x0))不是拐點。
在做函數(shù)圖形的時候,如果函數(shù)有間斷點或?qū)?shù)不存在的點,這些點也要作為分點。
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