2015年湖北考研數(shù)學(xué)定理定義公式大全：中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

湖北2015年考研數(shù)學(xué)定理定義公式大全：中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

　　
第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

　　1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在 開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ <b)

　　2、定理(拉格朗 日中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ <b)

　　3、定理(柯西中值定 理)如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F’(x)在(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零，那么在開(kāi)區(qū)間 (a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。

　　4、洛必達(dá)法則應(yīng)用條 件只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。

　　5、函數(shù)單調(diào)性的判定法設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間 [a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么：(1)如果在(a，b)內(nèi)f’(x)>0，那么函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)增加;(2)如 果在(a，b)內(nèi)f’(x)<0，那么函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)減少。

　　如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外 導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，就能保證f’(x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定符 號(hào)，因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。

　　6、函數(shù)的極值如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，x0是(a，b)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，如果 存在著點(diǎn)x0的一個(gè)去心鄰域，對(duì)于這去心鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)x，f(x)f(x0)均成立，就稱(chēng)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值。

　　在函數(shù) 取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數(shù)不一定取得極值，即可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn))，但函數(shù)的駐點(diǎn)卻 不一定是極值點(diǎn)。

　　定理(函數(shù)取得極值的必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，那么函數(shù)在x0的導(dǎo)數(shù)為零，即f’ (x0)=0.定理(函數(shù)取得極值的第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x0)=0，那么：(1)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值 時(shí)，f’(x)恒為正;當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x)恒為負(fù)，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時(shí)，f’ (x)恒為負(fù);當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x)恒為正，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;(3)如果當(dāng)x取x0左右兩側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x) 恒為正或恒為負(fù)，那么函數(shù)f(x)在x0處沒(méi)有極值。

　　定理(函數(shù)取得極值的第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f’ (x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)當(dāng)f’’(x0)<0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2)當(dāng)f’’(x0)>0時(shí)，函 數(shù)f(x)在x0處取得極小值;駐點(diǎn)有可能是極值點(diǎn)，不是駐點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn)。

　　7、函數(shù)的凹凸性及其判定設(shè)f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù)，如 果對(duì)任意兩點(diǎn)x1，x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2，那么稱(chēng)f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凹的;如果恒有 f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2，那么稱(chēng)f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。

　　定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間 [a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么(1)若在(a，b)內(nèi)f’’(x)>0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形 是凹的;(2)若在(a，b)內(nèi)f’’(x)<0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形是凸的。

　　判斷曲線拐點(diǎn)(凹凸分界點(diǎn))的步驟 (1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0，解出這方程在區(qū)間(a，b)內(nèi)的實(shí)根;(3)對(duì)于(2)中解出的每一個(gè)實(shí)根x0，檢查f’’(x)在 x0左右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，如果f’’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近分別保持一定的符號(hào)，那么當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相反時(shí)，點(diǎn)(x0，f(x0))是拐點(diǎn)，當(dāng)兩側(cè)的符號(hào) 相同時(shí)，點(diǎn)(x0，f(x0))不是拐點(diǎn)。

　　在做函數(shù)圖形的時(shí)候，如果函數(shù)有間斷點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，這些點(diǎn)也要作為分點(diǎn)。

相關(guān)推薦: