2015年蘭州文理學院普通專升本數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)考試大綱

蘭州文理學院2015年普通專升本數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)考試大綱

湖北專升本網(wǎng)獲悉，2015年蘭州文理學院普通專升本數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)考試大綱已公布。詳情如下：

一、性質(zhì)

全面考核普通高校?？疲ê呗殻獙卯厴I(yè)生數(shù)學專業(yè)核心課程是否達到教學大綱所規(guī)定的目標。數(shù)學專業(yè)設置的核心課程主要有：數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率統(tǒng)計、常微分方程。甘肅省普通高等學校專升本招生數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的考試，側重考核《數(shù)學分析》、《高等代數(shù)》兩門課程的學習是否達到了教學大綱所規(guī)定的目標。

二、考試范圍

主要涵蓋?？平虒W大綱所規(guī)定的《數(shù)學分析》、《高等代數(shù)》的內(nèi)容，并參照本科數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)一年級和二年級的教學內(nèi)容。重點考核學生對這兩門課程知識的掌握情況及其應用能力?？荚嚥蛔非笃}怪題，以基礎知識為出題的核心內(nèi)容。

三、考試參考書目

1．華東師范大學數(shù)學系.《數(shù)學分析》第3版，高等教育出版社，2001年6月。

2．張禾瑞，郝柄新.《高等代數(shù)》（第5版），高等教育出版社，2007年6月。

四、命題形式及試題難易度

考試題型包括單項選擇題、多項選擇題、判斷題、簡答題、論述題五種。試題難易度分布較容易題約占30%、中等難度題約占60%、較難題約占10%。

五、說明

試卷滿分為200分，兩門課程所占分值各為100分?？荚嚂r間為180分鐘。

（數(shù)學分析部分）

一、考試目的

全面考核普通高校?？疲ê呗殻獙卯厴I(yè)生數(shù)學分析課程是否達到教學大綱所規(guī)定的目標。

二、考試范圍

主要涵蓋專科數(shù)學分析課程教學大綱所規(guī)定的全部內(nèi)容。重點考核學生的數(shù)學分析基礎知識及其應用能力，考試不追求偏題怪題，以基礎知識為出題的核心內(nèi)容。為保證試卷的信度，對于主觀性選擇填空題，以基礎概念之間的關系、推理、計算為主，力求覆蓋基礎知識。其余試題均為計算、討論和證明。

三、考試內(nèi)容

考生應理解和掌握《數(shù)學分析》中函數(shù)、極限與連續(xù)、微分學、積分學和級數(shù)的基本概念、基本理論、基本方法。應具有抽象思維和邏輯推理能力、數(shù)值運算能力和空間想象能力，能運用所學知識進行推理和證明、準確而簡捷地計算。能綜合運用數(shù)學分析中的基本理論、基本方法分析和解決實際問題。主要包括：

（一）函數(shù)、極限與連續(xù)

1．知識范圍

函數(shù)的概念和性質(zhì)、數(shù)列極限和函數(shù)極限的定義和性質(zhì)、夾逼定理及其應用、極限的計算、單調(diào)有界定理、海涅定理、兩個重要極限、無窮小量與無窮大量的定義和性質(zhì)以及它們的關系、無窮小量階的比較、閉區(qū)間套定理、Weierstrass定理、Cauchy收斂原理、函數(shù)連續(xù)的概念、函數(shù)的間斷點及其分類、連續(xù)函數(shù)局部性質(zhì)、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)（介值定理，零點定理，最值定理，一致連續(xù)性定理）等，上述問題的內(nèi)容、證明和應用。

2．考核目標

(1)正確理解和掌握函數(shù)的概念，熟練地求函數(shù)的定義域；
理解和掌握有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、偶函數(shù)、奇函數(shù)與周期函數(shù)概念；
會用定義判斷函數(shù)的類別。

（2)理解和掌握數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念；
會用定義證明極限中一些有關問題；
熟練地應用極限的唯一性、有界(局部有界)性、保號(局部)性、保序(局部)性證明有關問題；
會應用四則運算定理、兩邊夾定理、單調(diào)有界定理和兩個重要極限熟練地求極限；
理解無窮小與無窮大概念。

(3)理解和掌握函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)一致連續(xù)的概念；
掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，能用這些性質(zhì)證明有關問題；
知道初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)。

（二）一元函數(shù)微分學

1．知識范圍

導數(shù)的定義和幾何意義、可導與連續(xù)的關系、求導的運算法則和計算、微分的定義及其與導數(shù)的關系、微分的計算和應用、高階導數(shù)的概念及計算、導數(shù)的幾何應用、費爾馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒公式、羅必達法則、利用導數(shù)進行函數(shù)性態(tài)的討論和描述。

2．考核目標

（1）掌握導數(shù)、微分的定義和幾何意義，了解它們的差異；
熟練地應用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)和高階導數(shù)；
熟練地計算函數(shù)的微分；

（2）掌握費爾馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理的條件、結論和證明方法，會用拉格朗日定理證明一些恒等式與不等式；

（3）記住 的馬克勞林公式，會用它們求一些簡單函數(shù)的展開式；

（4） 能夠熟練地應用羅必達法則求不定式的極限；

（5）能夠熟練地進行函數(shù)性態(tài)的討論，包括單調(diào)性、極值、最值、凹凸性、拐點、漸近線及函數(shù)作圖。

（三）一元函數(shù)積分學

1．知識范圍

原函數(shù)與不定積分的概念與計算、定積分的概念與計算、可積的必要條件和幾類可積函數(shù)、積分上限函數(shù)的性質(zhì)和牛頓一萊布尼茲公式、定積分在幾何上的應用、無窮區(qū)間上廣義積分和無窮限廣義積分斂散性判別。

2．考核目標

（1）掌握原函數(shù)與不定積分的概念，熟練地用換元法和分部積分法求不定積分。

（2）理解定積分概念和可積性證明，掌握定積分的性質(zhì)和微積分基本定理，熟練地應用牛頓一萊布尼茲公式計算定積分，會用定積分求平面區(qū)域的面積，平面曲線的弧長，旋轉體的側面積和體積。

（3）掌握無窮積分收斂與發(fā)散的概念，掌握無窮積分絕對斂與條件收斂的概念，會用收斂的定義和收斂性判別法判別一些無窮積分的散性。

（四）級數(shù)

1．知識范圍

級數(shù)的部分和、斂散性、收斂的必要條件和柯西準則、正項級數(shù)的斂散性判別、任意項級數(shù)的絕對收斂和條件收斂概念、交錯級數(shù)及其斂散的萊布尼茲判別法、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性以及和函數(shù)的分析性質(zhì)、冪級數(shù)的收斂性和冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的泰勒展開、Fourier級數(shù)的性質(zhì)與展開。

2．考核目標

（1）掌握級數(shù)收斂與發(fā)散的概念，絕對收斂與條件收斂的概念；
級數(shù) 的斂散性，熟練地應用比較判別法、達朗貝爾判別法和柯西判別法判別正項級數(shù)的收斂性；
熟練地用萊布尼茲判別法、Abel、Dirichlet判別法判斷常見的一般項級數(shù)的斂散性。

（2）掌握函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性的定義、證明。

（3）會求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域、和函數(shù)，記住五個常見函數(shù)的馬克勞林展開式，并能應用它們將一些簡單函數(shù)展開成冪級數(shù)。

（4）了解Fourier級數(shù)的性質(zhì)，能夠對一些函數(shù)計算其Fourier級數(shù)展開式。

（五）多元函數(shù)微分學

1．知識范圍

多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的重極限與累次極限及其關系，二元函數(shù)連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的有界性、最值性、介值性和一致連續(xù)性，多元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)、全微分的計算和相互關系，復合函數(shù)和隱函數(shù)的偏導數(shù)與二階偏導數(shù)以及偏導數(shù)的應用。

2．考核目標

（1）理解二元函數(shù)重極限和累次極限的定義和相互關系，會求二元函數(shù)的重極限與累次極限；
理解二元函數(shù)連續(xù)的定義與有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

（2）掌握多元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)、全微分的計算和相互關系；
熟練地求偏導數(shù)、全微分和高階偏導數(shù)，包括復合函數(shù)和隱函數(shù)的偏導數(shù)和二階偏導數(shù)。

（3）掌握偏導數(shù)的應用，包括在幾何上的應用、條件極值、無條件極值等。

（六）多元函數(shù)積分學

1．知識范圍

二重積分的概念和計算、應用二重積分計算空間形體的體積和平面圖形的面積、三重積分的概念和計算、第一、二型曲線積分的定義、性質(zhì)和計算方法、格林公式，平面曲線積分與路徑無關的條件、第一、二型曲面積分的定義、性質(zhì)和計算方法、Gauss公式和Stokes公式、含參量積分的定義與分析性質(zhì)、含參量反常積分的一致收斂性的判別和分析性質(zhì)。

2．考核目標

（1）理解二重積分的概念，熟練地計算二重積分；
會用二重積分計算一些簡單空間形體的體積和平面圖形的面積；
理解三重積分的概念，能夠計算某些三重積分。

（2）熟練地計算第一、二型曲線積分；
會用格林公式計算第二型曲線積分；
知道曲線積分與路徑無關的條件，會求P(x，y)dx+Q(x，y)dy的原函數(shù)。

（3）能夠計算第一、二型曲面積分；
知道Gauss公式和Stokes公式的內(nèi)容和應用。

（4）含參量積分的定義與分析性質(zhì)；
能夠判斷含參量反常積分的一致收斂性和討論其分析性質(zhì)。

（高等代數(shù)部分）

一、考試目的

全面考核普通高校?？疲ê呗殻獙卯厴I(yè)生高等代數(shù)課程是否達到教學大綱所規(guī)定的目標（掌握一元多項式及線性代數(shù)的基本知識和基礎理論，熟悉和掌握抽象的、嚴格的代數(shù)方法，理解具體與抽象、特殊與一般、有限與無限等辨證關系，提高抽象思維、邏輯推理及運算能力）。

二、考試內(nèi)容

考生應理解和掌握《高等代數(shù)》中的多項式、行列式、矩陣、線性方程組、向量空間、線性變換、歐氏空間、二次型的基本概念、基本理論、基本方法。應具有抽象思維和邏輯推理能力、數(shù)值運算能力和空間想象能力，能運用所學知識進行推理和證明、準確而簡捷地計算。能綜合運用中的基本高等代數(shù)中的理論、基本方法分析和解決實際問題。主要包括以下九個部分：

（一） 基本概念

1．知識范圍

集合, 映射, 數(shù)學歸納法, 整數(shù)的整除性質(zhì), 數(shù)環(huán)和數(shù)域。

2．考核目標

（1）理解集合、集合的相等、子集、空集、交集、并集等概念及簡單運算和性質(zhì)。

（2）理解掌握映射、單射、滿射、一一映射的概念和判法。

（3）掌握整數(shù)的一些整除性質(zhì)，理解數(shù)環(huán)和數(shù)域的概念。

（二）多項式

1．知識范圍

一元多項式的定義和運算,多項式的整除性,多項式的最大公因式,多項式的因式分解, 多項式的重因式, 多項式函數(shù)與多項式的根, 復數(shù)域和實數(shù)域上多項式的因式分解, 有理數(shù)域上多項式的可約性及有理根。

2．考核目標

（1）掌握數(shù)域上一元多項式的概念、運算、多項式的和與積的次數(shù)。

（2）理解并掌握多項式的整除概念和性質(zhì)并能運用；
掌握帶余除法定理并能運用。

（3）正確理解和掌握兩個多項式的最大公因式、互素等概念及性質(zhì)并能應用，能熟練地運用輾轉相除法求兩個多項式的最大公因式。

（4）理解可約、不可約多項式的概念，掌握不可約多項式的性質(zhì)并能運用，掌握因式分解唯一性定理的結論和標準分解式。

（5）理解多項式的重因式的概念，掌握多項式有無重因式的判別方法。

（6）理解并掌握多項式函數(shù)及多項式根的概念、余數(shù)定理、綜合除法、根與一次因式的關系并能運用；
了解數(shù)域P上多項式相等與多項式函數(shù)相等的一致性，多項式根的個數(shù)。

（7）掌握代數(shù)基本定理的結論、復數(shù)域和實數(shù)域上多項式因式分解定理及不可約多項式的類型，了解實系數(shù)多項式非實復根的性質(zhì)。

（8）了解本原多項式的定義及性質(zhì)；
理解有理數(shù)域上多項式的因式分解問題可歸結為整系數(shù)多項式的因式分解問題；
熟練掌握整系數(shù)多項式的有理根的求法；
會用Eisenstein判別法，明確有理數(shù)域上有任意次的不可約多項式。

（三）行列式

1．知識范圍

二階和三階行列式, 排列, n 階行列式的定義和性質(zhì), 行列式依行依列展開, Cramer 規(guī)則。

2．考核目標

（1）掌握n級排列、反序數(shù)（逆序數(shù)）、奇、偶排列、對換等概念，會求排列的反序數(shù)并能判斷其奇偶性，理解對換及其對排列的作用。

（2）掌握行列式的基本性質(zhì)并能準確、熟練地運用；

（3）熟練掌握行列式按一行（列）展開的公式及有關性質(zhì)；
熟悉 Vandermonde行列式及其計算方法。

（4）掌握“化三角形法”，“遞推降階法”，“數(shù)學歸納法”等計算行列式的常用方法，會用這些方法計算一些行列式。

（5）掌握克萊姆(Cramer)法則及應用。

（四）線性方程組

1．知識范圍

線性方程組的消元法, 矩陣的秩, 線性方程組有解的判別法, 線性方程組的公式解

2．考核目標

（1）理解矩陣秩的定義，掌握矩陣的求法。

（2）理解并掌握線性方程組有解的判定定理及其應用，熟練運用矩陣的初等變換解一般線性方程組。

（3）理解并掌握含n個未知量n個方程的齊次線性方程組有非零解的充要條件。

（4）理解并掌握齊次線性方程組的基礎解系概念、求法，掌握線性方程組的解的結構定理。

（五） 矩陣

1．知識范圍

矩陣的運算, 可逆矩陣, 初等矩陣, 矩陣乘積的行列式與秩, 矩陣的分塊。

2．考核目標

（1）熟練掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉置運算及其運算律。

（2）理解掌握初等矩陣的概念，初等矩陣與初等變換的關系以及用初等變換求逆矩陣的理論依據(jù)。

（3）理解掌握可逆矩陣的定義、可逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充要條件，熟練掌握用初等變換法和伴隨矩陣法求逆矩陣的方法。

（4）掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關系。

（六）向量空間

1．知識范圍

向量空間的定義、例子及簡單性質(zhì), 子空間, 向量組的線性相關性,基和維數(shù), 子空間的直和, 坐標, 向量空間的同構, 齊次線性方程組的解空間, 非齊次線性方程組解的結構。

2．考核目標

（1）掌握向量空間（線性空間）的定義與簡單性質(zhì)；
了解常用的向量空間，初步了解公理化的思想方法。

（2）理解和掌握向量空間的子空間、生成子空間以及子空間的交與和的概念，掌握子空間的判別方法。

（3）理解掌握向量空間中向量組的線性組合、線性表示、線性相關、線性無關的概念和性質(zhì)及其判定方法；
理解替換定理，掌握向量組的極大無關組、向量組等價的概念及其性質(zhì)。

（4）掌握n維向量空間的基、維數(shù)的概念以及常見向量空間的基和維數(shù)，掌握有限生成子空間的基和維數(shù)的求法以及維數(shù)公式。

（5）理解坐標的概念，過渡矩陣的概念及其性質(zhì)，掌握基變換及坐標變換公式，會求過渡矩陣以及向量的坐標。

（6）正確理解子空間的直和概念；
掌握子空間的和為直和的充要條件，了解一個n維線性空間可分解成兩個子空間的直和。

（7）理解線性空間同構的定義、性質(zhì)及其重要意義；
掌握有限維線性空間同構的充要條件。

（七）線性變換

1．知識范圍

線性變換的定義及其簡單性質(zhì), 線性變換的象與核, 線性變換的運算,線性變換和矩陣,不變子空間, 特征根、特征向量、特征多項式，可以對角化的矩陣。

2．考核目標

（1）掌握線性變換的概念、運算及其簡單性質(zhì)，理解線性變換的象與核。

（2）理解線性變換在給定基下矩陣的概念、線性變換與矩陣的對應關系以及同一線性變換關于不同基的矩陣間的關系；
掌握矩陣相似的概念和性質(zhì)；
掌握線性變換在給定基下的矩陣的求法以及向量在線性變換下的像的坐標公式。

（3）掌握不變子空間的定義和判法。

（4） 理解線性變換的本征值、本征向量，矩陣的特征根與特征向量的概念，熟練掌握線性變換與矩陣的特征值和特征向量的求法。

（5）明確屬于不同特征值的特征向量的線性無關性；
掌握線性變換和矩陣可對角化的條件以及可對角化時將其對角化的方法。

（八）歐氏空間

1．知識范圍

歐氏空間的定義及基本性質(zhì), Cauchy—Schwarz 不等式, 向量的長度及兩個向量的夾角, 正交基、標準正交基和正交化方法, 向量與子空間的正交，正交補向量到子空間的距離, 歐氏空間同構的定義和同構的充要條件, 正交變換與正交矩陣, 對稱變換與實對稱矩陣.

2．考核目標

（1）正確理解歐氏空間概念；
掌握向量的內(nèi)積、長度，兩個向量的夾角、正交的概念和基本性質(zhì)，掌握柯西-施瓦茨不等式。

（2）理解正交組、正交基、標準正交基的概念；
掌握Schimidt正交化方法；
理解子空間正交及正交補的概念以及n維歐氏空間的正交分解；
了解由標準正交基到標準正交基的過渡矩陣是正交矩陣，了解歐氏空間同構的定義及有限維歐氏空間同構的充要條件。

（3）理解和掌握正交變換的概念及性質(zhì)；
明確n維歐氏空間的正交變換與正交矩陣的關系，掌握線性變換是正交變換的充要條件。

（4）理解對稱變換及其與實對稱矩陣的關系；
掌握實對稱矩陣的基本性質(zhì)以及求正交陣將實對稱矩陣化為標準形的方法。

（九）二次型

1．知識范圍

二次型的矩陣表示, 化二次型為平方和, 復數(shù)域和實數(shù)域上二次型的典范形式及其唯一性，慣性定律, 正定二次型的定義及實二次型正定的充要條件，二次型的主軸問題。

2．考核目標

（1）掌握二次型的概念，二次型與對稱矩陣的一一對應關系及二次型的矩陣表示法，掌握二次型的等價的概念及性質(zhì)，掌握矩陣的合同概念及其性質(zhì)。

（2）能熟練地用“配方法”、“初等變換法”化二次型為標準型。

（3）明確復數(shù)域和實數(shù)域上二次型的規(guī)范形式的概念及唯一性；
掌握實二次型、實對稱矩陣的正、負慣性指數(shù)、符號差概念、慣性定理。

（4）理解二次型正定、是對稱矩陣正定的概念及判法。

（5）二次型主軸問題及其應用。