2014年荊楚理工學(xué)院專升本《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

荊楚理工學(xué)院
2014年專升本《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

一、課程名稱：數(shù)學(xué)分析

二、適用專業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

三、考試方法：閉卷考試

四、考試時間：90分鐘

五、試卷結(jié)構(gòu)：總分：100分，選擇題15分，填空題15分，計算題40分，證明題30分。

六、參考書目：

1、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編著，《數(shù)學(xué)分析》（上、下冊），高等教育出版社，2010年第4版。

2、中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 常庚哲 史濟懷編著，《數(shù)學(xué)分析教程》（上、下冊），高等教育出版社，2003年第1版。

七、考試的基本要求：

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)專升本入學(xué)考試中專業(yè)課考試內(nèi)容，考生應(yīng)理解和掌握《數(shù)學(xué)分析》中函數(shù)、極限、連續(xù)、微分學(xué)、積分學(xué)和級數(shù)的基本概念、基本理論、基本方法。應(yīng)具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和空間想象能力，能運用所學(xué)知識正確拙推理證明，準確、簡捷地計算。能綜合運用數(shù)學(xué)分析中的基本理論、基本方法分析和解決實際問題。

八、考試范圍

第一章 實數(shù)集與函數(shù)

（一）考核內(nèi)容

實數(shù)及其性質(zhì),絕對值與不等式。區(qū)間與鄰域，有界集與確界原理。函數(shù)概念,函數(shù)的表示法。函數(shù)的四則運算,復(fù)合函數(shù),反函數(shù),初等函數(shù)。具有某些特性的函數(shù)：有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)與偶函數(shù)、周期函數(shù)。

（二）考核知識點

1、實數(shù)：實數(shù)的概念，實數(shù)的性質(zhì)，絕對值與不等式；

2、數(shù)集、確界原理：區(qū)間與鄰域，有界集與無界集，上確界與下確界，確界原理；

3、函數(shù)概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法(解析法、列表法、和圖象法)，分段函數(shù)；

4、具有某些特征的函數(shù)：有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)，周期函數(shù)。

（三）考核要求

1、了解實數(shù)域及性質(zhì)；

2、掌握幾種不等式及應(yīng)用；

3、熟練掌握數(shù)域，上確界，下確界，確界原理；

4、牢固掌握函數(shù)復(fù)合、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及某些特性（單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第二章 數(shù)列極限

（一）考核內(nèi)容

數(shù)列。數(shù)列極限的 定義,無窮小數(shù)列。收斂數(shù)列性質(zhì)：唯一性、有界性、保號性、不等式性質(zhì)、迫斂性、四則運算法則。子列及子列定理。數(shù)列極限存在的條件：數(shù)列極限的單調(diào)有界定理、柯西收斂準則。

（二）考核知識點

1、極限概念；

2、收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性，有界性，保號性，單調(diào)性；

3、數(shù)列極限存在的條件：單調(diào)有界準則，迫斂性法則，柯西準則。

（三）考核要求

1、熟練掌握數(shù)列極限“ ”定義；

2、掌握收斂數(shù)列的若干性質(zhì)；

3、掌握數(shù)列收斂的條件（單調(diào)有界原理、迫斂法則、柯西準則等）。

第三章 函數(shù)極限

（一）考核內(nèi)容

求函數(shù)的極限，單側(cè)極限。函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性質(zhì)、迫斂性和四則運算法則。函數(shù)極限存在的條件：歸結(jié)原則、函數(shù)極限的單調(diào)有界定理和柯西準則。兩個重要極限。無窮小量及其階的比較,無窮大量，曲線的漸近線。

（二）考核知識點

1、函數(shù)極限的概念，單側(cè)極限的概念；

2、函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性，局部有界性，局部保號性，不等式性，迫斂性；

3、函數(shù)極限存在的條件：歸結(jié)原則（Heine定理），柯西準則；

4、兩個重要極限；

5、無窮小量與無窮大量，階的比較。

（三）考核要求

1、熟練掌握使用“ ”，“ ”語言，熟練敘述各類型函數(shù)極限；

2、掌握函數(shù)極限的若干性質(zhì)；

3、掌握函數(shù)極限存在的條件。（歸結(jié)原則，柯西準則，左、右極限,單調(diào)有界等）；

4、熟練應(yīng)用兩個特殊極限；

5、牢固掌握無窮小（大）的定義、性質(zhì)、階的比較。

第四章 函數(shù)連續(xù)性

（一）考核內(nèi)容

函數(shù)在一點的連續(xù)性,左、右連續(xù),間斷點及其分類，區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)：局部有界性、局部保號性、四則運算、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最值定理、介值性定理、根的存在定理，反函數(shù)的連續(xù)性,一致連續(xù)與一致連續(xù)性定理。指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)連續(xù)性。

（二）考核知識點

1、函數(shù)連續(xù)的概念：一點連續(xù)的定義，區(qū)間連續(xù)的定義，單側(cè)連續(xù)的定義，間斷點及其分類；

2、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：局部性質(zhì)及運算，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性），復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性；

3、初等函數(shù)的連續(xù)性。

（三）考核要求

1、熟練掌握 在 點連續(xù)的定義,等價定義；

2、掌握間斷點及其類型；

3、了解在區(qū)間上連續(xù)的定義；

4、掌握 在一點連續(xù)的性質(zhì)及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；

5、了解初等函數(shù)的連續(xù)性。

第五章 導(dǎo)數(shù)與微分

（一）考核內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，極值，費馬定理。導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，基本求導(dǎo)法則與公式。參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù),隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)。微分概念，微分的幾何意義，微分的運算法則，一階微分形式的不變性，高階微分，微分在近似計算中的應(yīng)用。

（二）考核知識點

1、導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

2、求導(dǎo)法則：導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運算(四則運算)、求導(dǎo)法則（反函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，參數(shù)方程的求導(dǎo)法則）；

3、微分：微分的定義，微分的運算法則，微分的應(yīng)用；

4、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。

（三）考核要求

1、熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義；

2、牢固記住求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式；

3、會求各類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（復(fù)合函數(shù)、含參變量函數(shù)、隱函數(shù)、冪指函數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)（萊布尼茲公式））；

4、掌握微分的概念，并會用微分進行近似計算；

5、理解連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系。

第六章 微分中值定量、不定式極限

（一）考核內(nèi)容

羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，單調(diào)函數(shù)?？挛髦兄刀ɡ?。不定式極限，羅比塔法則。帶有皮亞諾型余項、拉格朗日型余項的泰勒公式，泰勒公式在近似計算上的應(yīng)用

（二）考核知識點

1、中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2、幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則；

3、泰勒公式。

（三）考核要求

1、牢固掌握微分中值定理及應(yīng)用（包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）；

2、會用洛比達法則求極限（將其他類型的不定型轉(zhuǎn)化為 等類型）。

第七章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（一）考核內(nèi)容

函數(shù)單調(diào)性與極值。最大值與最小值。函數(shù)的凸性與曲線的拐點。函數(shù)圖象的討論。方程的近似解。 極值的判別法；
函數(shù)的升降、凸性討論的有關(guān)理論及結(jié)果；
畫函數(shù)草圖的基本要素和方法。

（二）考核知識點

1、函數(shù)的單調(diào)性與極值；

2、函數(shù)凹凸性與拐點.

（三）考核要求

1、掌握單調(diào)與 導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，并用它證明 單調(diào)，不等式、求單調(diào)區(qū)間、極值等；

2、利用 的二階導(dǎo)數(shù)判定凹凸性及拐點;

3、了解凸函數(shù)及性質(zhì);

4、會求曲線各種類型的漸近線性.

第八章 極限與連續(xù)（續(xù)）

（一）考核內(nèi)容

關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理：閉區(qū)間套定理、柯西收斂準則、聚點定理、有限覆蓋定理與致密性定理，實數(shù)完備性基本定理的等價性。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明。

（二）考核知識點

1、實數(shù)完備性六個等價定理：閉區(qū)間套定理、單調(diào)有界定理、柯西收斂準則、確界存在定理、聚點定理、有限覆蓋定理；

2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的證明：有界性定理的證明，最大小值性定理的證明，介值性定理的證明，一致連續(xù)性定理的證明；

（三）考核要求

1、掌握下列基本概念：區(qū)間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點、予列；

2、了解刻劃實數(shù)完備性的六個定理的等價性，并掌握各定理的條件與結(jié)論；

3、學(xué)會用六個定理證明其他問題，如連續(xù)函數(shù)性質(zhì)定理等.

第九章 不定積分

（一）考核內(nèi)容

原函數(shù)與不定積分概念,基本積分表,線性運算法則。換元積分法，分部積分法。有理函數(shù)的不定積分,三角函數(shù)有理式的不定積分,某些無理函數(shù)的不定積分。

（二）考核知識點

1、不定積分概念；

2、換元積分法與分部積分法；

3、幾類可化為有理函數(shù)的積分；

（三）考核要求

1、掌握原函數(shù)與不定積分的概念；

2、記住基本積分公式；

3、熟練掌握換元法、分部積分法；

4、了解有理函數(shù)積分步驟，并會求可化為有理函數(shù)的積分。

第十章 定積分

（一）考核內(nèi)容

概念引入（曲邊梯形面積與變力作功），定積分定義，定積分的幾何意義。牛頓－萊布尼茲公式。可積的必要條件，可積的充要條件，可積函數(shù)類：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)、只有有限個間斷點的有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)。定積分的基本性質(zhì)，積分中值定理。變限積分與原函數(shù)的存在性，微積分學(xué)基本定理、定積分的換元積分法和分部積分法?？煞e性理論補敘.

（二）考核知識點

1、定積分的概念：概念的引入、黎曼積分定義，函數(shù)可積的必要條件；

2、可積性條件：可積的必要條件和充要條件，達布上和與達布下和，可積函數(shù)類(連續(xù)函數(shù)，只有有限個間斷點的有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù))；

3、微積分學(xué)基本定理：可變上限積分，牛頓-萊布尼茲公式；

4、非正常積分：無窮積分收斂與發(fā)散的概念，審斂法（柯西準則，比較法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；
瑕積分的收斂與發(fā)散的概念，收斂判別法。

（三）考核要求

1、掌握定積分定義、性質(zhì)；

2、了解可積條件，可積函數(shù)類；

3、深刻理解微積分基本定理，并會熟練應(yīng)用；

4、熟練計算定積分；

5、掌握廣義積分收斂定義及判別法，會計算廣義積分。

第十一章 定積分應(yīng)用

（一）考核內(nèi)容

微元法。平面圖形的面積。由平行截面面積求體積，旋轉(zhuǎn)體體積。平面曲線的弧長、曲率。旋轉(zhuǎn)曲面的面積。定積分的近似計算.

（二）考核知識點

1、定積分的幾何應(yīng)用：平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數(shù)的立體體積，旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長與微分，曲率；

（三）考核要求

1、熟練計算各種平面圖形面積；

2、會求旋轉(zhuǎn)體或已知截面面積的體積；

3、會利用定積分求孤長、曲率、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積.

第十二章 數(shù)項級數(shù)

（一）考核內(nèi)容

數(shù)項級數(shù)極其收斂與和的定義，柯西收斂準則，收斂級數(shù)的基本性質(zhì)。正頂級數(shù)收斂性的一般判別原則（比較原則），比式判別法與根式判別法，積分判別法。拉貝判別法。交錯級數(shù)，萊布尼茲判別法，絕對收斂級數(shù)與性質(zhì)，條件收斂，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

（二）考核知識點

1、級數(shù)的斂散性：無窮級數(shù)收斂，發(fā)散等概念，柯西準則，收斂級數(shù)的基本性質(zhì)；

2、正項級數(shù)：比較原理，達朗貝爾判別法，柯西判別法，積分判別法；

3、一般項級數(shù)：交錯級數(shù)與萊布尼茲判別法，絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)及其性質(zhì)，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

（三）考核要求

1、掌握數(shù)項級數(shù)斂散的定義、性質(zhì)；

2、熟練掌握正項級數(shù)的斂、散判別法；

3、掌握條件、絕對收斂及萊布尼茲定理。

第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

（一）考核內(nèi)容

函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的收斂、一致收斂性以及一致收斂的柯西準則，函數(shù)項級數(shù)的維爾斯特拉斯優(yōu)級數(shù)判別法（M判別法），阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。函數(shù)列極限 函數(shù)與函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、可積性與可微性。

（二）考核知識點

1、一致收斂性及一致收斂判別法（柯西準則，優(yōu)級數(shù)判別法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；

2、一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)（連續(xù)性，可積性，可微性）。

（三）考核要求

1、掌握函數(shù)列及函數(shù)項級數(shù)的一致收斂定義；

2、掌握函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法；
;

3、函數(shù)列的極限函數(shù)，函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)。

第十四章 冪級數(shù)

（一）考核內(nèi)容

阿貝爾第一定理, 冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間,內(nèi)閉一致收斂性，冪級數(shù)的性質(zhì)，冪級數(shù)的四則運算。泰勒級數(shù)，函數(shù)可以展開成泰勒級數(shù)的條件,初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式。復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)和歐拉公式。

（二）考核知識點

1、冪級數(shù)：阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區(qū)間，冪級數(shù)的一致收斂性，冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)；

2、幾種常見初等函數(shù)的冪級數(shù)展開與泰勒定理。

（三）考核要求

1、熟練掌握冪級數(shù)收斂域、收斂半徑及和函數(shù)的求法；
;

2、了解冪級數(shù)的若干性質(zhì)；

3、了解求一般任意階可微函數(shù)的冪級數(shù)展開式的方法；

4、會利用間接法求一些初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式。

第十六章 多元函數(shù)極限與連續(xù)

（一）考核內(nèi)容

平面點集概念，R2上的完備性定理,二元函數(shù)和n元函數(shù)概念。二重極限,累次極限。二元函數(shù)的連續(xù)性,復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性。有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

（二）考核知識點

1、平面點集與多元函數(shù)的概念；

2、二元函數(shù)的極限、累次極限；

3、二元函數(shù)的連續(xù)性：二元函數(shù)的連續(xù)性概念、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及初等函數(shù)連續(xù)性。

（三）考核要求

1、了解平面點集的若干概念；

2、掌握二元函數(shù)二重極限定義、性質(zhì)；

3、掌握二次極限，并掌握二重極限與二次極限的關(guān)系；

4、掌握二元連續(xù)函數(shù)定義、性質(zhì).

第十七章 多元函數(shù)微分學(xué)

（一）考核內(nèi)容

多元函數(shù)的可微性與全微分，偏導(dǎo)數(shù)及其幾何意義,全微分存在的必要條件、充分條件，可微性的幾何意義及應(yīng)用。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的全微分。方向?qū)?shù)與梯度。高階偏導(dǎo)數(shù)，二元函數(shù)的中值定理和秦勒公式，二元函數(shù)的極值與最值。

（二）考核知識點

1、可微性：偏導(dǎo)數(shù)的概念 ，偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性；
全微分概念；
連續(xù)性與可微性，偏導(dǎo)數(shù)與可微性；

2、多元復(fù)合函數(shù)微分法及求導(dǎo)公式；

3、方向?qū)?shù)與梯度；

4、泰勒定理與極值。

（三）考核要求

1、熟練掌握可微，偏導(dǎo),可微的意義；

2、掌握二元函數(shù)可微，連續(xù)以及偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系；

3、會計算各種類型函數(shù)的偏導(dǎo)，函數(shù)的全微分；

4、會求空間曲面的切平面，法線；

5、會求函數(shù)的方向?qū)?shù)；

6、會求二元函數(shù)的無條件極值。

第十八章 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

（一）考核內(nèi)容

隱函數(shù)概念，隱函數(shù)存在性條件的分析，隱函數(shù)（存在惟一性、可微性）定

理，隱函數(shù)求導(dǎo)。隱函數(shù)組概念，函數(shù)行列式，隱函數(shù)組定理，隱函數(shù)組求導(dǎo)，

反函數(shù)組與坐標變換。幾何應(yīng)用。條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。

（二）考核知識點

1、隱函數(shù)：隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)的定理，隱函數(shù)求導(dǎo)舉例；

2、隱函數(shù)組：隱函數(shù)組存在定理，反函數(shù)組與坐標變換，雅可比行列式；

3、幾何應(yīng)用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線；
條件極值：條件極值的概念，條件極值的必要條件。

（三）考核要求

1、掌握一個方程確定的隱函數(shù)的條件，隱函數(shù)性質(zhì)，隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)）公式；

2、會求空間曲線的切線與法平面；

3、會求空間曲面的切平面與法線；

4、掌握條件極值的拉格朗日乘子法。

第二十章 重積分

（一）考核內(nèi)容

平面圖形的面積，二重積分的定義及其存在性，二重積分性質(zhì)。直角坐標系下二重積分的計算(化為累計積分)。格林公式，平面曲線積分與路線無關(guān)的等價條件，原函數(shù)。二重積分的變量替換公式，用極坐標計算二重積分。三重積分的概念與性質(zhì)，化三重積分為累次積分，三重積分的換元法，柱坐標變換與球坐標變換。重積分在的應(yīng)用：曲面的面積。

（二）考核知識點

1、二重積分概念：二重積分的概念，可積條件，可積函數(shù)，二重積分的性質(zhì)；

2、二重積分的計算：化二重積分為累次積分，換元法（極坐標變換，一般變換）；

3、含參變量的積分；

4、三重積分計算：化三重積分為累次積分, 換元法（一般變換，柱面坐標變換，球坐標變換）；

5、重積分應(yīng)用：立體體積，曲面的面積，物體的重心，轉(zhuǎn)動慣量；

6、含參量非正常積分概念及其一致斂性：含參變量非正常積分及其一致收斂性概念，一致收斂的判別法(柯西準則，與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的關(guān)系，一致收斂的M判別法)，含參變量非正常積分的分析性質(zhì).

（三）考核要求

1、了解二重積分，三重積分的定義與性質(zhì)；

2、掌握二重積分的換序，變量代換；

3、了解三重積分的換序，會用球、柱、廣義球坐標進行代換計算三重積分；

4、了解含參量正常積分的定義及性質(zhì).

第二十二章 曲線積分與曲面積分

（一）考核內(nèi)容

第一型曲線積分的定義與計算。第二型曲線積分的定義和計算，兩類曲線積分的聯(lián)系。第一型曲面積分概念、性質(zhì)和計算。曲面的側(cè),第二型面積分概念、性質(zhì)和計算，兩類曲面積分之間的聯(lián)系。高斯公式,斯托克斯公式，空間曲線積分與路線無關(guān)的等價條件。場論初步。

（二）考核知識點

1、第一型曲線積分的概念、性質(zhì)與計算，第一型曲面積分的的概念、性質(zhì)與計算；

2、第二型曲線積分的概念、性質(zhì)與計算，變力作功，兩類曲線積分的聯(lián)系；

3、格林公式，曲線積分與路線的無關(guān)性, 全函數(shù)；

4、曲面的側(cè)，第二型曲面積分概念及性質(zhì)與計算，兩類曲面積分的關(guān)系;

5、高斯公式，斯托克斯公式，空間曲線積分與路徑無關(guān)性；

（三）考核要求

1、熟練掌握第一、二型曲線、曲面積分的計算方法；

2、了解兩種曲線積分，兩種曲面積分關(guān)系；

3、熟練運用格林公式，高斯公式，斯托克斯公式的計算；

4、掌握積分與路徑無關(guān)的條件。