2020年荊楚理工學(xué)院普通專升本《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

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2020年專升本《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

一、考試性質(zhì)

“專升本”《數(shù)學(xué)分析》考試是為選拔?？茟?yīng)屆優(yōu)秀畢業(yè)生進(jìn)入本科學(xué)習(xí)，在了解數(shù)學(xué)分析中的基本概念、理論、方法的實(shí)際來(lái)源和歷史背景，清楚它們的幾何意義和物理意義，初步具備應(yīng)用數(shù)學(xué)分析解決實(shí)際問(wèn)題能力上的必要基礎(chǔ)考試，以盡快適應(yīng)本科學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的知識(shí)和技能要求。

二、考試目的

本次考試的目的主要是測(cè)試考生在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證能力、舉反例能力和基本計(jì)算能力方面是否具有本科學(xué)習(xí)的能力。

三、考試內(nèi)容

根據(jù)《數(shù)學(xué)分析》課程大綱的要求，特制定本課程考試內(nèi)容。

1． 極限和連續(xù)

a．熟練掌握數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念，包括數(shù)列的上、下極限和函數(shù)的左、右極限。

b．掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算性質(zhì)，特別要能夠熟練運(yùn)用兩面夾原理和兩個(gè)特殊極限。

c．了解實(shí)數(shù)系的基本定理：區(qū)間套定理，確界存在定理，單調(diào)有界原理，Bolzano-Weierstrass定理，Heine-Borel有限覆蓋定理，Cauchy收斂準(zhǔn)則。

d．熟練掌握函數(shù)連續(xù)性的概念及相關(guān)的不連續(xù)點(diǎn)類型。能夠運(yùn)用函數(shù)連續(xù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算性質(zhì)以及相對(duì)應(yīng)的無(wú)窮小量的性質(zhì)；并理解兩者的相互關(guān)系。

e．掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理、最值定理、介值定理和一致連續(xù)定理。

2．一元函數(shù)微分學(xué)

a．熟練掌握導(dǎo)數(shù)和微分的概念及其相互關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義，函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

b．熟練掌握函數(shù)與隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則，包括高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

c．掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及Taylor公式。

d．熟練掌握用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，最值和凸凹性。

e．熟練掌握用L’Hospital法則求不定式極限的方法。

3．一元函數(shù)積分學(xué)

a．熟練掌握不定積分的概念。熟練掌握不定積分的基本公式，換元積分法和分部積分法，會(huì)求有理函數(shù)、三角有理函數(shù)和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分。

b．熟練掌握定積分的概念，了解Darboux和，上、下積分及可積條件與可積函數(shù)類。

c．熟練掌握定積分的性質(zhì)，熟練掌握微積分基本定理，定積分的換元積分法和分部積分法。

d．熟練掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積，平面貢線的弧長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)體的體積與側(cè)面積，平行截面面積已知的立體體積，變力做功和物體的質(zhì)量與質(zhì)心）。

e．熟練掌握廣義積分的概念。熟練掌握判斷廣義積分收斂的比較判別法，掌握Abel判別法和Dirichlet判別法。

4．無(wú)窮級(jí)數(shù)

a．熟練掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的概念，掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。

b．熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的必要條件，比較判別法，比式和根式判別法，積分判別法。

c．熟練掌握任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念及其相互關(guān)系。熟練掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的Leibnitz判別法。掌握絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。

d．掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的概念以及判斷一致收斂性的Weierstrass判別法。了解Abel判別法和Dirichlet判別法。了解一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。

e．熟練掌握冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑收斂域的概念。

f．掌握冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)。能夠求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，能夠?qū)⒑瘮?shù)展開為冪級(jí)數(shù)。

g．能夠?qū)⒑瘮?shù)展開為Fourier級(jí)數(shù)。了解Fourier級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)。

5．多元函數(shù)微分學(xué)與積分學(xué)

a．熟練掌握多元函數(shù)極限與連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分。

b．掌握隱函數(shù)存在定理。

c．熟練掌握多元函數(shù)極值和無(wú)條件極值，偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用。

d．掌握重積分、曲線積分和曲面積分的概念與計(jì)算。

e．熟練掌握Gauss公式、Green公式及其應(yīng)用。

四、考試形式及時(shí)間

1.考試方式：筆試、閉卷

2.考試時(shí)間：90分鐘

3.總    分：150分

五、教學(xué)參考書

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析【M】.高等教育出版社.2014年第4版


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