2018年荊楚理工學(xué)院普通專升本高等數(shù)學(xué)考試大綱

荊楚理工學(xué)院普通專升本2018年高等數(shù)學(xué)考試大綱

一、課程名稱：高等數(shù)學(xué)

二、適用專業(yè)：非數(shù)學(xué)專業(yè)

三、考試方法：閉卷考試

四、考試時間：100分鐘

五、試卷結(jié)構(gòu)：總分：150分

六、參考書目：

1、同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系主編，《高等數(shù)學(xué)》（上、下冊），高等教育出版社，2007年第6版。

2、朱玉明等主編，《高等數(shù)學(xué)》，華中師范大學(xué)出版社，2013年9月第1版。

七、考試的基本要求：

考生應(yīng)理解《高等數(shù)學(xué)》中的函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學(xué)和常微分方程的基本概念與基本理論；
學(xué)會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識的結(jié)構(gòu)及知識的內(nèi)在聯(lián)系；
應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力；
有運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明和準(zhǔn)確地計算的能力；
能綜合運用所學(xué)知識分析并解決簡單的實際問題。

八、考試范圍

第一章函數(shù)與極限

（一）函數(shù)（非重點）

考試范圍

（1）函數(shù)的概念：函數(shù)的定義、函數(shù)的表示法、分段函數(shù)

（2）函數(shù)的簡單性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性

（3）反函數(shù)：反函數(shù)的定義、反函數(shù)的圖象

（4）函數(shù)的四則運算與復(fù)合運算

（5）基本初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)

（6）初等函數(shù)

2. 要求

（1）理解函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域、表達式及函數(shù)值。會求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，并會作出簡單的分段函數(shù)圖像。

（2）理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性，會判斷所給函數(shù)的類別。

（3）了解函數(shù)
與其反函數(shù)
之間的關(guān)系（定義域、值域、圖象），會求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。

（4）理解和掌握函數(shù)的四則運算與復(fù)合運算，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。

（5）掌握基本初等函數(shù)的簡單性質(zhì)及其圖象。

（6）了解初等函數(shù)的概念。

（7）會建立簡單實際問題的函數(shù)關(guān)系式。

（二）極限

1. 考試范圍

（1）數(shù)列極限的概念：數(shù)列、數(shù)列極限的定義

（2）數(shù)列極限的性質(zhì)：唯一性、有界性、四則運算定理、夾逼定理、單調(diào)有界定理、極限存在定理

（3）函數(shù)極限的概念：函數(shù)在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關(guān)系，x趨于無窮時函數(shù)的極限，函數(shù)極限的幾何意義

（4）函數(shù)極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運算定理

（5）無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關(guān)系，無窮小量與無窮大量的性質(zhì)，兩個無窮小量階的比較

（6）兩個重要極限：

2. 要求

（1）理解極限的概念（對極限定義中的描述不作要求），能根據(jù)極限概念分析函數(shù)的變化趨勢。會求函數(shù)在一點處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。

（2）了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運算法則。

（3）理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求極限。

（4）熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

（三）連續(xù)

1. 考試范圍

（1）函數(shù)連續(xù)的概念：函數(shù)在一點連續(xù)的定義，左連續(xù)和右連續(xù)，函數(shù)在一點連續(xù)的充分必要條件，函數(shù)的間斷點及其分類

（2）函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)的四則運算，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性

（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零點定理）

（4）初等函數(shù)的連續(xù)性

2. 要求

（1）理解函數(shù)在一點連續(xù)與間斷的概念，掌握判斷簡單函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點的連續(xù)性，理解函數(shù)在一點連續(xù)與極限存在的關(guān)系。

（2）會求函數(shù)的間斷點及確定其類型。

（3）掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會運用介值定理推證一些簡單命題。

（4）理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會利用連續(xù)性求極限。

第二章 導(dǎo)數(shù)與微分

1. 考試范圍

（1）導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義，左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

（2）求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式：導(dǎo)數(shù)的四則運算，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，基本求導(dǎo)公式

（3）求導(dǎo)方法：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，隱函數(shù)的求導(dǎo)法，對數(shù)求導(dǎo)法，由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法，求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

（4）高階導(dǎo)數(shù)的概念：高階導(dǎo)數(shù)的定義，高階導(dǎo)數(shù)的計算

（5）微分：微分的定義，微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，微分法則，一階微分形式不變性

2. 要求

（1）理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會用定義求函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)。

（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。

（3）熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（4）掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法、對數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（5）理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。

（6）理解函數(shù)的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會求函數(shù)的一階微分。

第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1. 考試范圍

（1）中值定理：羅爾（Rolle）中值定理，拉格朗日（Lagrange）中值定理

（2）洛必達（L’Hospital）法則

（3）函數(shù)單調(diào)性的判定法

（4）函數(shù)極值與極值點，最大值與最小值

（5）曲線的凹凸性、拐點

（6）曲線的水平漸近線與垂直漸近線

2. 要求

（1）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。會用羅爾中值定理證明方程根的存在性。會用拉格朗日中值定理證明簡單的不等式。

（2）熟練掌握用洛必達法則求和型未定式的極限方法。

（3）掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會利用函數(shù)的單調(diào)性證明簡單的不等式。

（4）理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最大（?。┲档姆椒ǎ⑶視夂唵蔚膽?yīng)用問題。

（5）會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。

（6）會求曲線的水平漸近線與垂直漸近線。

（7）會作出簡單函數(shù)的圖形。

第四章 不定積分

1. 考試范圍

（1）不定積分的概念：原函數(shù)與不定積分的定義，原函數(shù)存在定理，不定積分的性質(zhì)

（2）基本積分公式

（3）換元積分法：第一換元法（湊微分法），第二換元法

（4）分部積分法

（5）一些簡單有理函數(shù)的積分

2. 要求

（1）理解原函數(shù)與不定積分概念及其關(guān)系，掌握不定積分性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理。

（2）熟練掌握不定積分的基本公式。

（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡單的根式代換）。

（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。

（5）會求簡單有理函數(shù)的不定積分。

第五章定積分

1. 考試范圍

（1）定積分的概念：定積分的定義及其幾何意義，可積條件

（2）定積分的性質(zhì)

（3）定積分的計算：變上限的定積分，牛頓一萊布尼茨公式，換元積分法，分部積分法

2. 要求

（1）理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件。

（2）掌握定積分的基本性質(zhì)。

（3）理解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握對變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法。

（4）掌握牛頓—萊布尼茨公式。

（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

第六章定積分的應(yīng)用

1. 考試范圍

（1）定積分的元素法，定積分在幾何學(xué)上的簡單應(yīng)用

2. 要求

（1）掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計算簡單平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積

第七章微分方程

1. 考試范圍

（1）微分方程的概念：微分方程的定義、階、解、通解、初始條件、特解

（2）可分離變量的微分方程，齊次方程，一階線性微分方程，可降階的高階微分方程，高階線性微分方程，常系數(shù)齊次線性微分方程，常系數(shù)非齊次線性微分方程。

2. 要求

（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。

（2）掌握可分離變量的微分方程，齊次方程，一階線性微分方程，可降階的高階微分方程，高階線性微分方程，常系數(shù)齊次線性微分方程，常系數(shù)非齊次線性微分方程。

第八章空間解析幾何與向量代數(shù)

1. 考試范圍

（1）向量及其線性運算。

（2）數(shù)量積，向量積。

（3）曲面及其方程。

（4）平面及其方程。

（5）空間直線及其方程。

2. 要求

（1）掌握向量的運算（線性運算、數(shù)量積、向量積）。

（2）掌握空間曲線及其方程。

（3）掌握平面的方程和直線的方程及其求法。

第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

（一）多元函數(shù)的微分學(xué)

1. 考試范圍

（1）多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義，二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念

（2）多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義，全微分的概念

（3）全微分存在的必要條件和充分條件

（4）多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，二階偏導(dǎo)數(shù)

2. 要求

（1）理解多元函數(shù)的概念；
了解二元函數(shù)的幾何意義；
了解二元函數(shù)的極限的連續(xù)的概念。

（2）理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，知道全微分存在的必要條件和充分條件。

（3）掌握偏導(dǎo)數(shù)與微分的四則運算法則，掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則法，會求一些函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。

（二）多元函數(shù)的微分學(xué)的應(yīng)用

1. 考試范圍

（1）多元函數(shù)極值和條件極值的概念

（2）多元函數(shù)極值的必要條件二元函數(shù)極值的充分條件

（3）多元函數(shù)極值和最值的求法及簡單應(yīng)用

2. 要求

（1）了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，知道多元函數(shù)極值存在的必要條件。

（2）了解二元函數(shù)極值存在的必要條件和充分條件。

（3）掌握二元函數(shù)極值、最值問題的求法，會解簡單應(yīng)用問題。

第十章重積分

1．考試范圍

（1）二重積分的概念和性質(zhì)

（2）二重積分的計算和應(yīng)用

2．要求

（1）了解二重積分的概念與性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。

（2）掌握二重積分的計算方法，會用二重積分求一些簡單幾何量。

第十一章 曲線積分

1．考試范圍

（1）兩類曲線積分的計算。

（2）格林（Green）公式。

2. 要求

（1）理解兩類曲線積分的概念，兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。

（2）掌握兩類曲線積分的計算；
格林（Green）公式，會運用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件計算曲線積分。


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