結合實際應用 挖掘考研數(shù)學解題規(guī)律

數(shù)學應用是數(shù)學教學的一個重要的任務，學生學數(shù)學的目的就是為了以后用它去解決實際問題。因此，增強數(shù)學應用意識,培養(yǎng)學生數(shù)學應用能力,是數(shù)學教學的任務之一?，F(xiàn)在，歷年考研試題中都涉及數(shù)學實際應用的問題。下面就以考研真題為例，考研輔導專家總結歸納了函數(shù)的極值和最值、積分、微分方程和概率等考研中數(shù)學應用題的四大類型以及各個類型問題的解法。

函數(shù)的極值和最值模型

函數(shù)的極值和最值的應用問題主要分為一元函數(shù)和多元函數(shù)的極值和最值的應用，解決這類問題的思路是：第一根據(jù)實際問題中的數(shù)量關系列出函數(shù)關系式及求出函數(shù)的定義域;第二利用求函數(shù)極值和最值的方法求解。

例如：某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場銷售，售價分別為p1，p2;銷售量分別為q1和q2;需求函數(shù)分別為q1=24-0.2p1，q2=10-0.05p2;總成本函數(shù)為C=35+40(q1+q2)。試問：廠家如何確定兩個市場的售價，能使其獲得的總利潤最大?最大總利潤是多少?

分析：這是一個典型的二元函數(shù)求最值問題。首先要根據(jù)題意求出總利潤函數(shù)：總利潤=總收益-總成本;其次求出函數(shù)的定義域;最后根據(jù)二元函數(shù)求最值的方法求解即可。

積分模型

在積分的應用過程中關鍵要解決好兩個問題:一是什么樣的量可以用積分來表達;二是用什么樣的積分表達,即確定積分區(qū)域和被積表達式。

例如：某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打進土層. 汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功。設土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深度成正比(比例系數(shù)為kk>0)。汽錘第一次擊打將樁打進地下am。根據(jù)設計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù)r(0

問： (1) 汽錘擊打樁3次后，可將樁打進地下多深?(2) 若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進地下多深?(注：m表示長度單位米)

分析：本題屬變力做功問題，可用定積分進行計算，而擊打次數(shù)不限，相當于求數(shù)列的極限。

微分方程模型

應用微分方程解決實際問題,其實就是建立微分方程數(shù)學模型,通過建立微分方程、確定定解條件、求解及對解的分析可以揭示許多自然界和科學技術中的規(guī)律。應用微分方程解決具體問題時，首先將實際問題抽象,建立微分方程,并給出合理的定解條件;其次求解微分方程的通解及滿足定解條件的特解;最后由所求得的解或解的性質,回到實際問題。

例如：現(xiàn)有一質量為9000kg的飛機，著陸時的水平速度為700km/h。經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比(比例系數(shù)為k=6.0×106)。問從著陸點算起，飛機滑行的最長距離是多少? 注：kg表示千克，km/h表示千米/小時。

分析：本題是以運動力學為背景的數(shù)學應用題，可通過利用牛頓第二定理，列出關系式后再解微分方程即可。

概率模型

關于概率論的應用題主要集中在古典概型、隨機變量的分布以及隨機變量的數(shù)字特征等方面。應用概率論的知識解決具體問題時，首先要分析實際問題，找出隨機變量的關系及其分布;下來是列出它們的函數(shù)關系，利用概率論的有關知識求解。

例如：設某企業(yè)生產(chǎn)線上產(chǎn)品的合格率為0.96，不合格產(chǎn)品中只有3/4的產(chǎn)品可進行再加工，且再加工的合格率為0.8，其余均為廢品。已知每件合格品可獲利80元，每件廢品虧損20元，為保證該企業(yè)每天平均利潤不低于2萬元，問該企業(yè)每天至少應生產(chǎn)多少產(chǎn)品?

分析：本題為概率論中的數(shù)學期望在經(jīng)濟中的應用，有關數(shù)字特征的應用題主要是隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望、方差等，求解這類問題的關鍵是找出函數(shù)關系.根據(jù)題設列出方程求解.

以上對高等數(shù)學研究生入學考試中的有關數(shù)學應用題的類型及其解法作了一些探討，主要以考研真題為例對歷年來的研究生入學考試的命題特點進行了分析，總結了考研數(shù)學應用題的解決方法，希望對2014考研學生有所啟示。

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