全國(guó)2009年4月高等教育自考線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

全國(guó)2009年4月高等教育自學(xué)考試
線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題
課程代碼：04184

說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的鐵。
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)
在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。
1．3階行列式 = 中元素 的代數(shù)余了式 =（      ）
A．-2 B．-1
C．1 D．2
2．設(shè)矩陣A= ，B= ，P1= ，P2= ，則必有 （      ）
A．P1P2A=B B．P2P1A=B
C．AP1P2=B D．AP2P1=B
3．設(shè)n階可逆矩陣A、B、C滿足ABC=E，則B-1=（      ）
A．A-1C-1 B．C-1A-1
C．AC D．CA
4．設(shè)3階矩陣A= ，則A2的秩為（      ）
A．0 B．1
C．2 D．3
5．設(shè) 是一個(gè)4維向量組，若已知 可以表為 的線性組合，且表示法惟一，則向量組 的秩為（      ）
A．1 B．2
C．3 D．4
6．設(shè)向量組 線性相關(guān)，則向量組中（      ）
A．必有一個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合 
B．必有兩個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合
C．必有三個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合 
D．每一個(gè)向量都可以表為其余向量的線性組合
7．設(shè) 是齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則下列解向量組中，可以作為該方程組基礎(chǔ)解系的是（      ）
A．  B．
C．  D．
8．若2階矩陣A相似于矩陣B= ，E為2階單位矩陣，則與矩陣E-A相似的矩陣是（      ）
A．  B．
C．  D．
9．設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A= ，則3元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的規(guī)范形為（      ）
A．  B．
C．  D．

10．若3階實(shí)對(duì)稱矩陣A=（ ）是正定矩陣，則A的正慣性指數(shù)為（      ）
A．0 B．1
C．2 D．3

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)
    請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。
11．已知3階行列式 =6，則 =_______________.
12．設(shè)3階行列式D3的第2列元素分別為1，-2，3，對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式分別為-3，2，1，則D3=__________________.
13．設(shè)A= ，則A2-2A+E=____________________.
14.設(shè)A為2階矩陣，將A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩陣B.若B= ，則A=______________.
15.設(shè)3階矩陣A= ，則A-1=_________________.
16.設(shè)向量組 =（a,1,1）, =（1,-2,1）,  =（1,1,-2）線性相關(guān)，則數(shù)a=________.
17.已知x1=(1,0,-1)T, x2=(3,4,5)T是3元非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)解向量，則對(duì)應(yīng)齊次線性方程組Ax=0有一個(gè)非零解向量 =__________________.
18.設(shè)2階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為1，2，它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 =(1，1)T,
 =(1，k)T，則數(shù)k=_____________________.
19.已知3階矩陣A的特征值為0，-2，3，且矩陣B與A相似，則|B+E|=_________.
20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩陣A=_____________.

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）
21.已知3階行列式 = 中元素 的代數(shù)余子式A12=8，求元素 的代數(shù)余子式A21的值.
22.已知矩陣A ，B= ,矩陣X滿足AX+B=X，求X.
23.求向量組 =(1,1,1,3)T， =(-1,-3,5,1)T， =(3,2,-1,4)T， =(-2,-6,10,2)T的一個(gè)極大無關(guān)組，并將向量組中的其余向量用該極大無關(guān)組線性表出.
24.設(shè)3元齊次線性方程組 ，
（1）確定當(dāng)a為何值時(shí)，方程組有非零解；
（2）當(dāng)方程組有非零解時(shí)，求出它的基礎(chǔ)解系和全部解.
25.設(shè)矩陣B= ，
（1）判定B是否可與對(duì)角矩陣相似，說明理由；
（2）若B可與對(duì)角矩陣相似，求對(duì)角矩陣 和可逆矩陣P，使P-1BP=
26.設(shè)3元二次型 ,求正交變換x=Py,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.

四、證明題（本題6分）
27.已知A是n階矩陣，且滿足方程A2+2A=0,證明A的特征值只能是0或-2.