線性代數(shù)的學(xué)習(xí)心得

武漢科技大學(xué)自考的老師總結(jié)：先做計(jì)算題，填空題，然后證明題，選擇題等（一定要堅(jiān)持先易后難的原則，一定要。旁邊有某些同志說(shuō)：“這些都是屁話，我們都知的快快轉(zhuǎn)入正題吧！”） 　　把選擇題第8題拉出來(lái)讓大家看看 　　n(n>1)階實(shí)對(duì)矩陣A是正定矩陣的充份必要條件是（） 　　A．A是 　　正定二次型f(x)=x(A)x的矩陣 　　B．A是各階順序主子式均大于等于零（書(shū)本的p231定5.9知，大于零就可以了，明顯也是錯(cuò)的） 　　C．二次型f(x)=xTAx的負(fù)慣性指數(shù)為零 　　D．存在n階矩陣C，使得A=CTC（由書(shū)本的P230知，存在非奇異N階矩陣C，使A=CTC)很明顯，這個(gè)選擇是錯(cuò)了） 　　各位學(xué)友在做選擇題時(shí)要仔細(xì)呀！ 　　證明題 　　先講1999年下半年 　　設(shè)A，B，C均為n階矩陣，若ABC=I,這里I為單位矩陣，求證：B為可逆矩陣，且寫(xiě)出的逆矩陣？ 　　證的過(guò)程：己知ABC=I，|ABC|=|I|不等于零，|A|*|B|*|C|不等于零，得出|B|不等于零。所以B是可逆矩陣。 　　求其逆矩陣，ABC=I，兩邊同時(shí)右乘C-1得AB=C-1,接下來(lái)左乘以A-1得B=A-1C-1，最后BC=A-1,BCA=I,于是得B-1=CA(不知各位學(xué)友有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的方法謝謝告之） 　　對(duì)這題做后的心得，本人認(rèn)為一定要記得，a逆陣可逆的充分必要條件是行列式|a|不等零（切記，還有如ab=i,那么a-1=b） 　　對(duì)了還有，在求解逆矩陣，最簡(jiǎn)單方法是用初等行變換 　　公式法嗎！容易出錯(cuò)，只適合求解比較特殊的 　　下面這些是相關(guān)的證明題 　　設(shè)B矩陣可逆，A矩陣與B矩陣同階。且滿足A2+AB+B2=O，證明A和A+B都是可逆矩陣？（相信大家都能做出） 　　己知i+ab可逆，試證I+BA也可逆？ 　　接下來(lái)看看1999年上半年的 　　設(shè)n階方陣A與B相似，證明：A和B有相同的特征多項(xiàng)式？ 　　應(yīng)搞清楚下面的概念 　　什么是特征多項(xiàng)式呢（1） 　　什么是特征值呢（2） 　　什么還有特征向量（3） 　　什么是相似矩陣（4） 　　λI-A稱為A的特征矩陣；
|λI-A|稱為A的特征多項(xiàng)式；
|λI-A|=0稱為A的特征矩陣，而由些求出的全部根，即為A的全部特征值。 　　對(duì)每一個(gè)求出特征值λ，求出齊次方程組(λI-A)x=o的基礎(chǔ)解是&1,&2,&3...&s,則k1&1+k2&2+...ks&s即是A對(duì)應(yīng)于 λ的全部特征向量（其中，k1...ks不全為零） 　　相似矩陣：設(shè)A，B都是n階方陣，若存在n階可逆陣p，使得p-1ap=b,則稱A相似于B，記為A~B(相擬矩陣有相同的行列式，相同的秩，相同的特征值） 　　我覺(jué)得有這么一題使終我還是一知半解的，拉出來(lái)讓大家看看： 　　設(shè)A為4階方陣，A*為A的伴隨矩陣，若|A|=3，則|A*|=?,|2A*|=? 　　這題答案是27，432 　　怎么算的呢？這個(gè)具體我也不太清楚，我是用自己的方法，|A|N-1=|A*|,這個(gè)N代表多少階，如是4階那么3^3=27,后面那個(gè)，切記：把2提出行列式以外，看A是幾階行列式，4階就提4次，2^4*3^3=432(可能書(shū)上不是這樣的，我只是根據(jù)其習(xí)題答案推論出來(lái)的） 　　應(yīng)注意的問(wèn)題：區(qū)為行列式和矩陣之間的區(qū)別，特別是用一個(gè)不為零的數(shù)K乘以行列式或矩陣，前者只是乘以某一行或列，后者則是每一個(gè)元素都要乘！ 　　很容易搞不零清的：線性相關(guān)或無(wú)關(guān)和什么情況下線性方程組有解或無(wú)解，還有什么極大無(wú)關(guān)組，基礎(chǔ)解系，特征值，多項(xiàng)式，特征向量，相似矩陣有哪些性質(zhì)， 正交矩陣的充分心要條件，二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型。

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